[MRI] Fourier transformation

일반적으로 오디오 데이터를 분석할때 사용하는 푸리에 변환은 Time domain function을 Frequency domain function으로 변환하기 위해 사용한다.

다시 말해, 오디오 데이터는 시간에 따른 signal의 변화를 기록한 것인데, 이러한 signal이 어떤 frequency의 wave들로 구성된것인지 파형분리¹⁾를 해주는 것이다.

위의 그림에서 왼쪽은 Time graph이고 오른쪽은 푸리에 변환으로 구한 Frequency spctrum으로 첫번째는 frequency가 5인 signal, 두번째는 frequency가 25인 signal, 세번째는 두개의 signal을 합성한 그래프이다.

세번째 그래프의 왼쪽 Time graph는 매우 복잡해보이지만 오른쪽 Frequency spctrum를 보면 frequency가 5와 25인 두개의 signal로 구성 된 것임을 쉽게 파악할 수 있다. 이와 같이 복잡한 input signal을 단순한 wave들의 합으로 분해하여 분석하는 방식이기 때문에 오디오, 이미지 등 파형으로 표현할 수 있는 데이터를 분석하는데 많이 활용되고 있다.

그렇다면 푸리에 변환은 어떻게 이런 간단명료한 spectrum을 구할 수 있는 것일까.

위의 푸리에변환 공식을 살펴보면 이것은 $h(x)$와 $e^{-2 \pi itx}$라는 두 함수의 곱의 적분이므로 두 함수의 내적이라는 것을 알 수 있다.

여기서 $h(x)$는 input signal을 나타내는 함수이며 $e^{-2 \pi itx}$는 오일러 공식를 응용하여 복소평면에서 반경이 1이며 frequency가 1/t 인 주기함수를 표현한 것이다.

따라서 푸리에변환은 복소평면에서 input signal과 주기함수의 내적이며 이것은 input signal과 주기함수의 일치도를 계산하는것으로 생각할 수 있다. (공간에서 두 벡터의 내적은 두벡터 사이의 유사도를 구할 때 사용한다는 것을 기억하자.)

그렇기 때문에 frequency spectrum에서 input signal를 구성하는 frequency와 일치하는 frequency에서는 높은 값을 가지는 것이다.